Question

（2013•无为县模拟）已知函数f（x）=

x

ex

，g（x）=

(2-x)ex

e2

（1）求函数f（x）的极值；
（2）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：f（x₁）＞f（2-x₂）．

Answer 1

分析：（1）利用导数即可求出；
（2）利用导数证明函数f（x）-g（x）的最小值大于0即可；
（3）利用（1）的结论和已知条件得出x₁＜1＜x₂，即可证明．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

x

ex

，∴f′(x)=

1-x

ex

，
令f^′（x）=0，解得x=1．
列表如下：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值且f（1）=

1

e

．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=

x

ex

-

(2-x)ex

e2

，
则h^′（x）=

1-x

ex

-

(1-x)ex

e2

=

(1-x)(e2-e2x)

ex+2

．
当x＞1时，e^x+2＞0，1-x＜0，2x＞2，可得e²-e^2x＜0，
∴h^′（x）＞0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞h（1）=0，
故当x＞1时，f（x）＞g（x）．
（3）∵f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）上是减函数，如图所示．
∴当x₁≠x₂时，且f（x₁）=f（x₂）时，x₁、x₂不可能在同一个单调区间内．
∴必有x₁＜1＜x₂．
则f（x₁）-f（2-x₂）=f（x₂）-f（2-x₂）=

x2

ex2

-

2-x2

e2-x2

=

x2

ex2

-

(2-x2)ex2

e2

=f（x₂）-g（x₂）
由（2）可知：f（x₂）＞g（x₂）．
∴f（x₁）-f（2-x₂）＞0，即f（x₁）＞f（2-x₂）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性及极值是解题的关键．