已知数列满足:
其中
,数列
满足:
(1)求;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在正数k,使得数列的每一项均为整数,如果不存在,说明理由,如果存在,求出所有的k.
(1)(2)
(3)
的取值集合是
解析试题分析:(1)先由递推公式求出
再用递推公式求出 ;
(2)由
两式相减可得 即:
,于是结合(1)的结论可得
.
(3)对于这类问题通常的做法是假设 的值存在,由(1)的结果知,
或
,接下来可用数学归纳法证明结论成立即可.
试题解析:(1)经过计算可知:.
求得. (4分)
(2)由条件可知:. ①
类似地有:. ②
①-②有:.
即:.
因此:
即:故
所以:. (8分)
(3)假设存在正数,使得数列
的每一项均为整数.
则由(2)可知: ③
由,及
可知
.
当时,
为整数,利用
,结合③式,反复递推,可知
,
,
,
, 均为整数.
当时,③变为
④
我们用数学归纳法证明为偶数,
为整数
时,结论显然成立,假设
时结论成立,这时
为偶数,
为整数,故
为偶数,
为整数,所以
时,命题成立.
故数列是整数列.
综上所述,的取值集合是
. (14分)
考点:1、数列的递推公式;2、数学归纳法.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列和
的通项公式分别为
,
.将
与
中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为
.
(1)试写出,
,
,
的值,并由此归纳数列
的通项公式;
(2)证明你在(1)所猜想的结论.
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