设数列的前
项和
满足
,其中
.
⑴若,求
及
;
⑵若,求证:
,并给出等号成立的充要条件.
(1),
;(2)当且仅当
或
时等号成立.
解析试题分析:(1)已知 与
的关系式求出首项和通项,通常都是取特值和写一个递推式相减即可.(2)由(1)得到
,分析第1,2项可得后要证的问题等价于
本题是通过利用对称项
的关系来证明的,该对称项是通过对
的范围的讨论得到的. 通过累加后得到
,然后不等式的两边同时加上
即可得到答案.
试题解析:⑴ ………①,
当时代入①,得
,解得
;
由①得,两式相减得
(
),故
,故
为公比为2的等比数列,
故(对
也满足);
⑵当或
时,显然
,等号成立.
设,
且
,由(1)知,
,
,所以要证的不等式化为:
即证:
当时,上面不等式的等号成立.
当时,
与
,(
)同为负;
当时,
与
,(
)同为正;
因此当且
时,总有 (
)(
)>0,即
,(
).
上面不等式对从1到
求和得,
;
由此得 ;
综上,当且
时,有
,当且仅当
或
时等号成立.
考点:1.数列的求和与通项的关系.2.数列中不等式的证明.3.数列的累加法的应用.4.分类的思想.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列满足:
其中
,数列
满足:
(1)求;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在正数k,使得数列的每一项均为整数,如果不存在,说明理由,如果存在,求出所有的k.
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