Question

【题目】已知四棱锥，，，，，，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）当时，求直线和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，由条件可证明，，即证明平面；

（2）由条件可知，所以以C为原点，直线，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，利用公式求解.

解：（1）在中，由余弦定理，知，

将，，代入上式，计算得，故，

所以.

又平面，平面，

所以，

所以平面，

又平面，

故平面平面.

（2）由（1）知，，

故.

又平面，所以，，两两垂直，以C为原点，

直线，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系：

依题意，，，，，

则，，

假设平面的一个法向量为，

由

得即

令，解得.

而，设直线和平面所成的角为，

则

即和平面所成角的正弦值为.