Question

已知函数f（x）=x²-2ax+2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在（2，3）内单调，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在（2，3）内恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（3）若当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题可知f（x）的对称轴为x=a，根据单调性的定义，结合图象得出a≥3，或a≤2
（2）f（x）=x²-2ax+2图象开口向上，函数f（x）在（2，3）内恒有f（x）＜0，只需

f(2)≤0 f(3)≤0

（3）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a，利用二次函数图象与性质求最小值，解相应的不等式．

解答：解：（1）由题可知f（x）的对称轴为x=a，
∵f（x）在（2，3）内单调，
∴a的取值范围是（-∞，2]∪[3，+∞）．
（2）由题意得

f(2)≤0 f(3)≤0

，即

4-4a+2≤0 9-6a+2≤0

，
解得a≥

11

6

．
∴a的取值范围是[

11

6

，+∞）
（3）解法一：f≥（x）=（x-a）²+2-a²，此二次函数图象的对称轴为x=a．
①当a∈（-∞，-1）时，f（x）在[-1，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（-1）=2a+3．要使f（x）≥a恒成立，只需2a+3≥a，解得-3≤a＜-1．
②当a∈[-1，+∞）时，f（x）min=f（a）=2-a²，要使f（x）≥a恒成立，只需2-a²，≥a，解得-1≤a≤1．
综上所述，a的取值范围为-3≤a＜-1或-1≤a≤1，
即a的取值范围为[-3，1]．
解法二：令g（x）=x²-2ax+2-a，由已知，得x²-2ax+2-a≥0在[-1，+∞）上恒成立，
则①△=4a²-4（2-a）≤0，解得-2≤a≤1，
或②

△＞0 a＜-1 g(-1)≥0

，解得-3≤a≤1．
综上所述，a的取值范围为-2≤a≤1或-3≤a≤1，
即a的取值范围为[-3，1]．

点评：本题主要考查二次函数图象与性质：单调性，最值，用到了数形结合的思想、分类讨论的方法．