Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=AD=AB=1，DC=2．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，求出$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{DB}$的坐标，通过计算数量积得出DP⊥BC，DB⊥BC，故BC⊥平面PBD；
（2）分别求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．

解答 （1）证明：以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示，
则：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（0，0，1）
∴$\overrightarrow{DP}=（0，0，1）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，
∴$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{BC}=0，\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{BC}=0$，∴DP⊥BC，DB⊥BC，
又 DP?平面PDB，DB?平面PDB，DP∩DB=D，
∴BC⊥平面PBD．
（2）由（1）可知：$\overrightarrow{AB}=（0，1，0）$，$\overrightarrow{PB}=（-1，-1，1）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$．
设$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$、$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$分别是平面PAB和平面PBC的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n_1}=0\\ \overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n_1}=0\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.$
即 $\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\-{x_1}-{y_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}-{x_2}+{y_2}=0\\-{x_2}-{y_2}+{z_2}=0\end{array}\right.$
不妨设x₁=x₂=1，则$\overrightarrow{n_1}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{n_2}=（1，1，2）$，
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1×1+0×1+1×2}{{\sqrt{{1^2}+{0^2}+{1^2}}•\sqrt{{1^2}+{1^2}+{2^2}}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
由图已知二面角A-PB-C为钝二面角，
二面角A-PB-C的大小为$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．