Question

17．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P∈BB₁（P不与B，B₁重合）．PA∩A₁B=M，PC∩BC₁=N．
求证：MN∥平面ABCD．

Answer 1

分析 由已知得AC∥A₁C₁，从而得到AC∥平面A₁BC₁，再由平面A₁BC₁∩平面PAC=MN，得到AC∥MN，由此能证明MN∥平面ABCD．

解答 证明：如图，连接AC、A₁C₁，
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，
∴四边形ACC₁A₁是平行四边形．∴AC∥A₁C₁．
∵AC?平面A₁BC₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴AC∥平面A₁BC₁．
∵AC?平面PAC，平面A₁BC₁∩平面PAC=MN，∴AC∥MN．
∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．