Question

20．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1+at}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线ρ²=$\frac{16}{1+3si{n}^{2}θ}$的相交弦中点坐标为（1，1），则a等于（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出直线l与曲线的普通方程，联立方程组，利用根与系数的关系列方程解出a．

解答 解：∵ρ²=$\frac{16}{1+3si{n}^{2}θ}$，
∴ρ²+3ρ²sin²θ=16，
∴x²+y²+3y²=16，即$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1+at}\end{array}\right.$的普通方程为y=ax-a+1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
消元得（1+4a²）x${\;}^{{\;}^{2}}$-8a（a-1）x+4（a-1）²-16=0，
设直线l与曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{8a（a-1）}{1+4{a}^{2}}$=2，解得a=-$\frac{1}{4}$．
故选A．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的对应关系，属于中档题．