Question

11．已知集合A={x|x²-6x+8≤0}，f（x）=a^x（a＞0且a≠1），x∈A．
①若a=2，求f（x）的最值
②若函数f（x）的最大值与最小值之差为2，求a的值．

Answer 1

分析 ①解不等式得出f（x）的定义域，根据f（x）的单调性求出f（x）的最值；
②对f（x）的单调性进行讨论，根据最值差列方程解出a．

解答 解：①解不等式x²-6x+8≤0得2≤x≤4，
∴A=[2，4]．
当a=2时，f（x）=2^x在[2，4]上是增函数，
∴f（x）的最小值为f（2）=4，
f（x）的最大值为f（4）=16．
②（i）若a＞1，则f（x）在[2，4]上是增函数，
∴f_min（x）=a²．f_max（x）=a⁴，
∴a⁴-a²=2，即（a²）²-a²-2=0，解得a²=2或a²=-1（舍），
∴a=$\sqrt{2}$．
（ii）若0＜a＜1，则f（x）在[2，4]上是减函数，
∴f_min（x）=a⁴．f_max（x）=a²，
∴a²-a⁴=2，即（a²）²-a²+2=0，方程无解．
综上，a=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了不等式的解法，指数函数的单调性，属于中档题．