Question

设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

n

3

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设bn=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

n

3

?当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=

n-1

3

，两式作差求出数列{a_n}的通项．
（2）由（1）的结论可知数列{b_n}的通项．再用错位相减法求和即可．

解答：解：（1）∵a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

n

3

，①
∴当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=

n-1

3

．②
①-②，得3^n-1a_n=

1

3

，an=

1

3n

（n≥2），
在①中，令n=1，
得a1=

1

3

．∴an=

1

3n

．
（2）∵bn=

n

an

，
∴b_n=n•3ⁿ．
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ．③
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④
④-③，得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ），
即2S_n=n•3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

．
∴Sn=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

．

点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．