Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x-1，
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且a=2，c=2

3

，f（

C

2

）=

1

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过正弦函数的单调增区间，求f（x）的单调递增区间；
（2）通过f（

C

2

）=

1

2

，求出C，利用正弦定理求出A，判断三角形的形状，即可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x-1
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
可得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
单调增区间[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（2）f（

C

2

）=

1

2

，
∴sin（C-

π

6

）=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，a=2，c=2

3

，可得sinA=

2× 3 2

2 3

=

1

2

，
∵c＞a，∴C＞A，∴A=

π

6

，
∴B=

π

2

，三角形的直角三角形，
∴S=

1

2

ac=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用．