Question

20．已知a＞b＞0，椭圆C₁的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，双曲线C₂的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，C₁与C₂的离心率之积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则C₁的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 由题意可知：椭圆C₁的离心率e₁=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，双曲线C₂的离心率为e₂=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，由e₁•e₂=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，代入整理可知：a⁴=4b⁴，即a²=2b²，由椭圆C₁的离心率：e₁=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求得C₁的离心率．

解答 解：椭圆C₁的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，焦点在x轴上，
离心率e₁=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
由双曲线C₂的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，
离心率为e₂=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
由C₁与C₂的离心率之积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴e₁•e₂=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$即，$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，两边平方，整理得：a⁴=4b⁴，
∴a²=2b²，
则椭圆C₁的离心率：e₁=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆及双曲线的离心率公式的应用，考查计算能力，属于基础题．