Question

8．过点A（2，3）且与抛物线y²=2x仅有一个交点的直线有（　　）条．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 易知符合条件的直线存在斜率，设直线方程为：y-3=k（x-2），与抛物线方程联立消掉y得x的方程，按照x²的系数为0，不为0两种情况进行讨论，其中不为0时令△=0可求．

解答 解：当直线不存在斜率时，不符合题意；
当直线存在斜率时，设直线方程为：y-3=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-3=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，
可得k²x²+（6k-2-4k²）x+4k²-12k+9=0，
当k=0时，方程为：-2x+9=0，得x=$\frac{9}{2}$，此时只有一个交点（$\frac{9}{2}$，3），直线与抛物线相交；
当k≠0时，令△=（6k-2-4k²）²-4k²（4k²-12k+9）=0，
化简得，4k²-6k+1=0，
解得k=$\frac{3±\sqrt{5}}{4}$，此时直线与抛物线相切，
直线方程为：y-3=$\frac{3±\sqrt{5}}{4}$（x-2），
综上，满足条件的直线有三条．
故选：D．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．