Question

13．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC=CA=2BD，M是EA的中点．求证：
（1）DE=DA；      
（2）DM∥平面ABC       
（3）平面BDM⊥平面ECA．

Answer 1

分析 （1）取EC中点F，连接DF．由线面垂直的性质和三角形的全等可得DE=DA；
（2）取AC中点N，连接MN、NB，运用中位线定理可得四边形MNBD是平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（3）由中位线定理可得四边形MNBD是矩形，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 解：（1）如图所示，取EC中点F，连接DF．
∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，
∴DB⊥平面ABC．
∴DB⊥AB．
∵BD∥CE，BD=$\frac{1}{2}$CE=FC，
∴四边形FCBD是矩形，∴DF⊥EC．
又BA=BC=DF，
∴Rt△DEF≌Rt△ADB，
∴DE=DA；
（2）如图所示，取AC中点N，连接MN、NB，
∵M是EA的中点，∴MN平行且等于$\frac{1}{2}$EC．
由BD平行且等于$\frac{1}{2}$EC，MN平行且等于BD，
∴四边形MNBD是平行四边形，
∴DM∥NB，又DM?平面ABC，NB?平面ABC，
∴DM∥平面ABC；
（3）MN平行且等于$\frac{1}{2}$EC．
由BD平行且等于$\frac{1}{2}$EC，
MN平行且等于BD，
且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，
于是DM⊥MN．
∵DE=DA，M是EA的中点，
∴DM⊥EA．又EA∩MN=M，
∴DM⊥平面ECA，而DM在平面BDM内，
∴平面ECA⊥平面BDM．

点评 本题考查直线和平面平行的判定和面面垂直的判定定理的运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．