Question

已知函数f(x)=log2

1+x

1-x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)
（3）若f(

a+b

1+ab

)=1，f(-b)=

1

2

，求f（a）的值．

Answer 1

分析：（1）先看函数定义域是否关于原点对称，再看f（x）与f（-x）的关系．
（2）应用对数的运算法则计算f（x₁）+f（x₂）的值．
（3）由（2）的结论知f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)=1，先求f（b），进而求f（a）的值．

解答：解：（1）由

1+x

1-x

＞0得函数f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，
又f(x)+f(-x)=log2

1+x

1-x

+log2

1-x

1+x

=0
所以函数f（x）为奇函数
（2）证明：f(x1)+f(x2)=log2

1+x1

1-x1

+log2

1+x2

1-x2

=log2(

1+x1

1-x1

•

1+x2

1-x2

)=log2

1+x1+x2+x1x2

1-x1-x2+x1x2

f(

x1+x2

1+x1x2

)=log2

1+ x1+x2 1+x1x2

1- x1+x2 x1x2

=log2

1+x1+x2+x1x2

1-x1-x2+x1x2

；
∴f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)；
（3）解：由（2）的结论知f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)=1
又由（1）知f(b)=-f(-b)=-

1

2

；
∴f(a)=1-f(b)=1+

1

2

=

3

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性、对数运算性质，注意函数特征f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)=1．