Question

20．把函数g（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到函数y=f（x）的图象（如图）．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若g（x₀）=-$\frac{11}{14}$，x₀∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$），求sin2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的关系求出A，ω和φ的值即可，求函数g（x）的解析式；
（2）利用两角和差的正弦公式进行求解即可．

解答 解：（1）把函数g（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到函数y=f（x）的图象，
即f（x）=g（x+$\frac{π}{3}$）=Asin[ω（x+$\frac{π}{3}$）+φ]=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$ω+φ），
由图象知函数的最大值为1，即A=1，
$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{12}$，
即T=π，即T=$\frac{2π}{ω}$=π，则ω=2，
即f（x）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ），
∵f（$\frac{7π}{12}$）=sin（2×$\frac{7π}{12}$+$\frac{2π}{3}$+φ）=-1，
∴2×$\frac{7π}{12}$+$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=-$\frac{π}{3}$，
即f（x）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）知g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
若g（x₀）=-$\frac{11}{14}$，x₀∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$），
则sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{11}{14}$，
∵x₀∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$），
∴2x₀-$\frac{π}{3}$∈（π，$\frac{7π}{6}$），
则cos（2x₀-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{1-（-\frac{11}{14}）^{2}}$=-$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
则sin2x₀=sin（2x₀-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（2x₀-$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{11}{14}$×$\frac{1}{2}$+（-$\frac{5\sqrt{3}}{14}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$-\frac{11}{28}$-$\frac{15}{28}$=$-\frac{13}{′14}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．