Question

12．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为16，求ab的最大值．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则ab的最大值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-$\frac{a}{b}$＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：

平移直线得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，由图象可知当直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$经过点A时，直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$的截距最大，此时z最大．
由 $\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为16，
即a+4b=16，∴16=a+4b≥2 $\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤4，即ab≤16，
当且仅当a=4b=8，即a=8，b=2时取等号．
故ab的最大值是16．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．