Question

10．已知△ABC的面积是S_△ABC，若角A、B、C所对的边为a，b，c，且有c²+b²-a²=4S_△ABC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{2}$，D为BC边上的点，且DC=$\sqrt{3}$BD，求线段AD的长取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积公式化简已知等式的左边，利用余弦定理表示出cosA，变形后代入等式的右边，利用同角三角函数间的基本关系弦化切整理后求出tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由题意画出图形，可知三角形外接圆的半径为1，求解三角形可得BD，DC的值，进一步求得线段AD的长取值范围．

解答 解：（1）∵c²+b²-a²=4，S_△ABC=4×$\frac{1}{2}$bc•sinA=2bc•sinA，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即b²+c²-a²=2bc•cosA
∴2bc•cosA=2bc•sinA  
∴tanA=1
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{4}$．
（2）如图，△ABC的外接圆的半径为1，由题意可得BC=$\sqrt{2}$，OB⊥OC，
可知当D、O、A共线时，AD最大．
∵DC=$\sqrt{3}BD$，∴$（\sqrt{3}+1）BD=\sqrt{2}$，
∴$BD=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
$CD=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
在△COD中，∠OCD=45°，
OD=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}）^{2}-2×\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}-1$．
∴BD＜AD≤$\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$．
即$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$＜AD$≤\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，是中档题．