Question

5．已知α是第一象限角，且sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，则cosα的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• B． $\frac{5}{13}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得，cosα=$\frac{2}{3}$cosβ，且 cosα=$\sqrt{{4cos}^{2}β-3}$，由此求得cosα的值．

解答 解：α是第一象限角，且sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，则cosα=$\frac{sinα}{tanα}$=$\frac{2sinβ}{3tanβ}$=$\frac{2}{3}$cosβ，
再根据cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\sqrt{{1-4sin}^{2}β}$=$\sqrt{{4cos}^{2}β-3}$，
可得${（\frac{2}{3}cosβ）}^{2}$=4cos²β-3，∴cosβ=$\sqrt{\frac{27}{32}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，∴cosα=$\frac{2}{3}$cosβ=$\frac{2}{3}•\frac{3\sqrt{6}}{8}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．