Question

1．椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16），则椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

Answer 1

分析 由题意可得：直线AB，CF的方程分别为：$\frac{x}{-a}+\frac{y}{b}$=1，$\frac{x}{c}+\frac{y}{-b}$=1，把（3a，16）代入上述方程可得：$\frac{3a}{-a}+\frac{16}{b}$=1，$\frac{3a}{c}+\frac{16}{-b}$=1，又a²=b²+c²，联立解得即可得出．

解答 解：由题意可得：直线AB，CF的方程分别为：$\frac{x}{-a}+\frac{y}{b}$=1，$\frac{x}{c}+\frac{y}{-b}$=1，
把（3a，16）代入上述方程可得：$\frac{3a}{-a}+\frac{16}{b}$=1，$\frac{3a}{c}+\frac{16}{-b}$=1，又a²=b²+c²，
联立解得a=5，b=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．