Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分别为棱DD₁、AB、BC的中点．
（1）求二面角B₁MNB的正切值；
（2）求证：PB⊥平面MNB₁；
（3）若正方体的棱长为1，画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离．

Answer 1

分析：（1）要求二面角B₁-MN-B的正切值，我们要先找出二面角的平面角，再构造三角形，解三角形求出其正切值．
（2）要证明PB⊥平面MNB₁，需利用题设条件推导出PB⊥MB₁，PB⊥MN，由此能够证明PB⊥平面MNB₁．
（3）由正方体12种展开图，选其中“1-4-1”的情况，再标识出P点即可，从而可求PB．

解答：（1）解：连接BD，交MN于点F，连接B₁F，
∵平面DD₁B₁B⊥平面ABCD，交线为BD，AC⊥BD，
∴AC⊥平面DD₁B₁B，
∵AC∥MN，∴MN⊥平面DD₁B₁B，
∵B₁F?平面DD₁B₁B，BF?平面DD₁B₁B，
∴B₁F⊥MN，BF⊥MN，
∵B₁F?平面B₁MN，BF?平面BMN，
∴∠B₁FB为二面角B₁-MN-B的平面角，
在Rt△B₁FB中，设B₁B=1，则FB=

2

4

．
∴tan∠B₁FB=2

2

．
（2）证明：过点P作PE⊥AA₁，则PE∥DA，连接BE，
∵DA⊥平面ABB₁A₁，∴PE⊥平面ABB₁A₁，即PE⊥B₁M，
又∵BE⊥B₁M，∴B₁M⊥平面PEB，
∴PB⊥MB₁，
由（1）中MN⊥平面DD₁B₁B，得PB⊥MN，
所以PB⊥平面MNB₁．
（3）解：符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：

由图可知PB=

1+( 3 2 )2

=

13

2

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查正方体的平面展开图，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．