Question

11．已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=a₃=k（常数 k＞0），a_n+1=$\frac{k+{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$（n≥3，n∈N^*）．数列{b_n}满足：b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$（n∈N^*）．
（1）求 b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（2）求出数列{b_n}的通项公式；
（3）问：数列{a_n}的每一项能否均为整数？若能，求出k的所有可能值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）经过计算可知：a₄=k+1，a₅=k+2，a₆=k+4+$\frac{2}{k}$，由数列{b_n}满足：b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$（n=1，2，3，4…），从而可求求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）由条件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．得a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n，两式相减整理得b_n=b_n-2，从而可求数列{b_n}的通项公式；
（3）假设存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数则由（2）可知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2n+1}=2{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}\\{{a}_{2n+2}=\frac{2k+1}{k}{a}_{2n+1}-{a}_{2n}}\end{array}\right.$，由a₁=k∈Z，a₆=k+4+$\frac{2}{k}$∈Z，可求得k=1，2．证明 k=1，2时，满足题意，说明k为1，2时，数列{a_n}是整数列．

解答 解：（1）由已知可知：a₄=k+1，a₅=k+2，a₆=k+4+$\frac{2}{k}$．
把数列{a_n}的项代入b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，求得b₁=b₃=2，${b}_{2}={b}_{4}=\frac{2k+1}{k}$；
（2）由a_n+1=$\frac{k+{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$（n≥3，n∈N^*），可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．…①
则：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n．…②
①-②有：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n-2}+{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，即：b_n=b_n-2
∴${b}_{2n-1}={b}_{2n-3}=…={b}_{1}=\frac{{a}_{1}+{a}_{3}}{{a}_{2}}=2$，${b}_{2n}={b}_{2n-2}=…={b}_{2}=\frac{{a}_{2}+{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{2k+1}{k}$．
∴${b}_{n}=\frac{4k+1}{2k}+\frac{（-1）^{n}}{2k}$；
（3）假设存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数，
则由（2）可知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2n+1}=2{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}\\{{a}_{2n+2}=\frac{2k+1}{k}{a}_{2n+1}-{a}_{2n}}\end{array}\right.$，…③
由a₁=k∈Z，a₆=k+4+$\frac{2}{k}$∈Z，可知k=1，2．
当k=1时，$\frac{2k+1}{k}$=3为整数，利用a₁，a₂，a₃∈Z，结合③式，可知{a_n}的每一项均为整数；
当k=2时，③变为$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2n+1}=2{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}\\{{a}_{2n+2}=\frac{5}{2}{a}_{2n+1}-{a}_{2n}}\end{array}\right.$，…④
用数学归纳法证明a_2n-1为偶数，a_2n为整数．
n=1时，结论显然成立，假设n=k时结论成立，这时a_2n-1为偶数，a_2n为整数，
故a_2n+1=2a_2n-a_2n-1为偶数，a_2n+2为整数，∴n=k+1时，命题成立．
故数列{a_n}是整数列．
综上所述，k为1，2时，数列{a_n}是整数列．

点评 本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．