Question

1．在二项式（${\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中x⁴的系数为$\frac{495}{16}$．

Answer 1

分析 由${∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+{∁}_{n}^{2}$=79，化简解出n=12．再利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：∵${∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+{∁}_{n}^{2}$=79，
化为n²+n-156=0，n∈N^*．
解得n=12．
∴$（\frac{1}{2}+2x）^{12}$的展开式中的通项公式T_r+1=${∁}_{12}^{r}（\frac{1}{2}）^{12-r}（2x）^{r}$=2^2r-12${∁}_{12}^{r}$x^r，
令r=4，则展开式中x⁴的系数=${2}^{-4}×{∁}_{12}^{4}$=$\frac{495}{16}$．
故答案为：$\frac{495}{16}$．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．