Question

10．已知数列{a_n}的前n为S_n满足S_n=$\frac{n}{2}$a_n，且a₂≠0，则$\frac{{{S_{2015}}}}{{{S_{2016}}}}$等于（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{1007}{1008}$
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 S_n=$\frac{n}{2}$a_n，可得：n=2时，a₁+a₂=a₂，解得a₁=0．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，利用“累乘求积”可得a_n．即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{n}{2}$a_n，∴n=2时，a₁+a₂=a₂，解得a₁=0．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2}$a_n-$\frac{n-1}{2}$a_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$•\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂=$\frac{n-1}{n-2}$$•\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{3}{2}$•$\frac{2}{1}$•a₂=（n-1）a₂，
∴$\frac{{{S_{2015}}}}{{{S_{2016}}}}$=$\frac{\frac{2015}{2}{a}_{2015}}{\frac{2016}{2}{a}_{2016}}$=$\frac{2015}{2016}×$$\frac{2014{a}_{2}}{2015{a}_{2}}$=$\frac{1007}{1008}$．
故选：B．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．