Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n-1=${（{\frac{1}{3}}）^n}$（n≥2），S_n=a₁•3+a₂•3²+…+a_n•3ⁿ，则4S_n-a_n•3ⁿ⁺¹=$\left\{\begin{array}{l}{-5，}&{n=1}\\{n+2，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用S_n的表达式，求出3S_n的表达式，错位求和，化简可得所求表达式的结果．

解答 解：因为S_n=a₁•3+a₂•3²+…+a_n•3ⁿ，
所以3S_n=a₁•3²+a₂•3³+…+a_n•3ⁿ⁺¹，
所以4S_n=3a₁+3²（a₁+a₂）+3³（a₂+a₃）+…+3ⁿ（a_n-1+a_n）+a_n•3ⁿ⁺¹，
所以4S_n-a_n•3ⁿ⁺¹=3a₁+3²（a₁+a₂）+3³（a₂+a₃）+…+3ⁿ（a_n-1+a_n），
又因为a₁=1，a_n+a_n-1=${（{\frac{1}{3}}）^n}$（n≥2），
所以4S_n-a_n•3ⁿ⁺¹=3+3²•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3³$•\frac{1}{{3}^{3}}$+…+3ⁿ•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=3+1+1+…+1=3+（n-1）=n+2（n≥2），
又因为当n=1时，4S₁-a₁•3¹⁺¹=-5不满足上式，
所以4S_n-a_n•3ⁿ⁺¹=$\left\{\begin{array}{l}{-5，}&{n=1}\\{n+2，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{-5，}&{n=1}\\{n+2，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题是中档题，考查数列求和的方法，考查计算能力，转化思想的应用．