Question

14．已知函数f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期及图象的对称中心；
（2）求f（x）在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=cosx$•（\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx）$-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$•sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函数的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0）．
（2）在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
故当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{3π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．