Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{\sqrt{x}}$．
（1）证明函数f（x）在定义域上是单调增函数；
（2）求函数f（x）在[2，+∞）上的值域．

Answer 1

分析 （1）先把f（x）变成f（x）=$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$，根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式$\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}$，从而可证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得到f（x）在定义域上单调递增；
（2）容易判断当x趋向正无穷时，f（x）趋向正无穷，从而得出f（x）≥f（2），这样便可得出f（x）在[2，+∞）上的值域．

解答 解：（1）证明：$f（x）=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$，设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\sqrt{{x}_{1}}-\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}-\sqrt{{x}_{2}}+\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}}$
=$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}•\sqrt{{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴$\sqrt{{x}_{1}}＞\sqrt{{x}_{2}}$，$\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}＞0$，$1+\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}\sqrt{{x}_{2}}}＞0$；
∴$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}\sqrt{{x}_{2}}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在定义域上是单调增函数；
（2）由（1）知f（x）在[2，+∞）上单调递增；
∵f（x）=$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$；
∴x趋向+∞时，$\frac{1}{\sqrt{x}}$趋向0，$\sqrt{x}$趋向+∞，∴f（x）趋向+∞；
∴f（x）≥f（2）；
即$f（x）≥\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴f（x）在[2，+∞）上的值域为$[\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，根据函数单调性求值域的方法，注意需判断x趋向“+∞”时，f（x）所趋向的值．