Question

若

a

=（

3

cosωx，sinωx），

b

=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（

a

+

b

）•

b

-

1

2

．
（1）若f（x）的图象中两条相邻对称轴间的距离

π

2

，求ω的值；
（2）在（1）的条件下，若x∈[-

π

6

，

π

6

]，求f（x）最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用平面向量的数量积的坐标表示和二倍角公式的变形，化简f（x），再由周期公式，即可求出ω；
（2）由（1）判断出[-

π

6

，

π

6

]为增区间，即可求出f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

cosωx，sinωx），

b

=（sinωx，0），
∴f（x）=（

a

+

b

）•

b

-

1

2

=

a

•

b

+

b

2-

1

2

=

3

sinωx•cosωx+sin²ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

），
由题设得，f（x）的最小正周期为π，即有

2π

2ω

=π，
∴ω=1；
（2）f（x）=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，
∴[-

π

6

，

π

6

]为增区间，
∴当x=-

π

6

时f（x）_min=sin（-

π

2

）=-1，x=

π

6

时，f（x）_max=sin

π

6

=

1

2

，
故f（x）的最大值为

1

2

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查二倍角公式的灵活运用，同时考查平面向量的数量积的坐标运算，是一道基础题．