Question

已知数列：

1

1

，

2

1

，

1

2

，

3

1

，

2

2

，

1

3

，

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

，…依它的前10项的规律，这个数列的第2014项a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：规律型

分析：观察数列的特征，得出它的项数是1+2+3+…+k=

k(k+1)

2

（k∈N^*），在每一个k段内是k个分数（k∈N^*，k≥3），且它们的分子分母和为k+1；进而求出第2014项即可．

解答： 解：观察数列：

1

1

，

2

1

，

1

2

，

3

1

，

2

2

，

1

3

，

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

，…，
得出：它的项数是1+2+3+…+k=

k(k+1)

2

（k∈N^*），
并且在每一个k段内，是k个分数（k∈N^*，k≥3），且它们的分子分母和为k+1（k∈N^*，k≥3）；
由k=62时，

k(k+1)

2

=1953＜2014（k∈N^*），
由k=63时，

k(k+1)

2

=2016＞2014（k∈N^*），
故a₂₀₁₄在63段中
∴该数列的第2014项a₂₀₁₄为第63组的第61项，
故a₂₀₁₄=

3

61

，
故答案为：

3

61

．

点评：本题考查了数列的应用问题，解题时应根据数列的特征，总结出规律，得出正确的结论，是基础题．