Question

已知M为△ABC的边BC上一点，若AM=CM=2，BM=1，则

2

AB+AC的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,解三角形

分析：设∠AMB=θ，θ∈（0，π），在△ABM、在△AMC中，分别利用余弦定理可表示

2

AB+AC，然后利用三角恒等变换求出其平方的最大值．

解答： 解：设∠AMB=θ，θ∈（0，π），
在△ABM中，由余弦定理，得AB²=AM²+BM²-2AM•BMcosθ=5-4cosθ，
在△AMC中，由余弦定理，得AC²=AM²+MC²-2AM•MCcos（π-θ）=8+8cosθ，
∴

2

AB+AC=

2

•

5-4cosθ

+

8+8cosθ

=

10-8cosθ

+

8+8cosθ

，
(

2

AB+AC)2=18+2

(10-8cosθ)(8+8cosθ)

=18+2

-64(cosθ- 1 8 )2+81

，
当cosθ=

1

8

时，18+2

-64(cosθ- 1 8 )2+81

取得最大值36，
∴

2

AB+AC的最大值为6，
故答案为：6．

点评：该题考查余弦定理及其应用，考查函数思想，属中档题．