Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面是等腰三角形（侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱），A₁C₁=C₁B₁，D是线段A₁B₁的中点．
（1）证明：面AC₁D⊥平面A₁B₁BA；
（2）证明：B₁C∥平面AC₁D．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出C₁D⊥平面A₁B₁BA，利用线面垂直的判定定理证明出面AC₁D⊥平面A₁B₁BA．
（2）连结A₁C交AC₁于O，连结DO，先证明出DO∥B₁C，根据线面平行的判定定理证明出B₁C∥面AC₁D．

解答： 证明：（1）∵面A₁B₁C₁⊥面A₁B₁BA，面A₁B₁C₁∩面A₁B₁BA=A₁B₁，C₁D⊥A₁B₁，
∴C₁D⊥平面A₁B₁BA，
∵C₁D?面AC₁D，
∴面AC₁D⊥平面A₁B₁BA．
（2）连结A₁C交AC₁于O，连结DO，
∵D，O分别是A₁B₁，A₁C的中点，
∴DO∥B₁C，
∵DO?面AC₁D，
∴B₁C∥面AC₁D．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．证明面面垂直的重要方法就是先找到线面垂直．