Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，BD=

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AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BMD；
（2）求证：AD⊥PB．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC，AC与BD相交于点O，连接MO，先证明出MO∥AP，利用线面平行的判定定理证明出PA∥平面BMD．
（2）先根据线面垂直的性质证明出PD⊥AD，利用勾股定理证明出AD⊥BD，进而根据线面垂直的判定定理证明出AD⊥平面PBD，则AD⊥PB得证．

解答： （1）证明：连接AC，AC与BD相交于点O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
∵M为PC的中点，
∴MO∥AP．
∵P?平面BMD，MO?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD．
∵AB=2AD，BD=

3

AD
∴BD²+AD²=4AD²=AB²，
∴AD⊥BD．
∵PD∩BD=D，PD?平面PBD，BD?平面PBD，
∴AD⊥平面PBD．
∵PB?平面PBD，∴AD⊥PB．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定．考查了学生对立体几何基础知识的掌握．