Question

已知函数f（x）=e^a-x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）求函数g（x）=xf（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定函数h（x）=f（x）+x的零点个数，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由g（x）=xe^a-x，x∈R，得g'（x）=（1-x）e^a-x，令g'（x）=0，得x=1．从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）由h（x）=e^a-x+x，得h'（x）=1-e^a-x．令h'（x）=0，得x=a．求出函数的单调区间，得到h（x）的最小值为h（a）=1+a．再通过讨论a的范围，综合得出函数的零点个数．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=xe^a-x，x∈R，
∴g'（x）=（1-x）e^a-x．                                   
令g'（x）=0，得x=1．
当x变化时，g（x）和g'（x）的变化情况如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	ea-1	↘

故g（x）的单调递减区间为（1，+∞）；单调递增区间为（-∞，1）．  
（Ⅱ）∵h（x）=e^a-x+x，
∴h'（x）=1-e^a-x．
令h'（x）=0，得x=a．
当x变化时，h（x）和h'（x）的变化情况如下：

x	（-∞，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	1+a	↗

即h（x）的单调递增区间为（a，+∞）；单调递减区间为（-∞，a）． 
∴h（x）的最小值为h（a）=1+a．
①当1+a＞0，即a＞-1时，函数h（x）不存在零点．
②当1+a=0，即a=-1时，函数h（x）有一个零点．
③当1+a＜0，即a＜-1时，h（0）=e^a＞0，
下证：h（2a）＞0．
令m（x）=e^x-2x，则m'（x）=e^x-2．
解m'（x）=e^x-2=0得x=ln2．
当x＞ln2时，m'（x）＞0，
∴函数m（x）在[ln2，+∞）上是增函数．
取x=-a＞1＞ln2，
得：m（-a）=e^-a+2a＞e^ln2-2ln2=2-2ln2＞0．
∴h（2a）=e^-a+2a=m（-a）＞0．
结合函数h（x）的单调性可知，
此时函数h（x）有两个零点．
综上，当a＞-1时，函数h（x）不存在零点；
a=-1时，函数h（x）有一个零点；
当a＜-1时，函数h（x）有两个零点．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的最值问题，函数的零点的判断问题，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．