Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，求函数F（x）=f（x）+f（x-

π

3

）的单调递增区间；
（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若函数y=g（x）在区间[m，10π]上有20个零点：a₁，a₂，a₃，…，a₂₀，求实数m的取值范围并求a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀的值．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）当ω=1时，函数F（x）=2

3

sin（x-

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的递增区间．
（II）令g（x）=0，可得 sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，求得x=kπ+

5π

12

，或 x=kπ+

3π

4

，k∈z．由题意可得区间[m，10π]恰好包含函数g（x）的10个周期，可得m∈（-

π

4

，

5π

12

]，a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

5π

12

）]，计算求得结果．

解答： 解：（I）当ω=1时，函数F（x）=f（x）+f（x-

π

3

）=2sinx+2sin（x-

π

3

）=3sinx-

3

cosx=2

3

sin（x-

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，故函数的递增区间为 [2kπ-

π

3

，2kπ+

2

3

π]，k∈Z．
（II）由题意可得 g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1=2sin（2x+

π

3

）+1，令g（x）=0，可得 sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，
2x+

π

3

=2kπ+

7π

6

，或2x+

π

3

=2kπ+

11π

6

，即 x=kπ+

5π

12

，或 x=kπ+

3π

4

，k∈z．
若函数y=g（x）在区间[m，10π]上有20个零点，则区间[m，10π]恰好包含10个周期，
函数在区间[m+kπ，m+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[m，10π]上有20个零点．
∴m∈（-

π

4

，

5π

12

]，a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

3π

4

）]
=

295π

6

+

105π

2

=

305π

3

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决问题的关键，属于基础题．