Question

已知数列{a_n}为a₀，a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N），b_n=

n

i=0

ai表示a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，i∈N．
（1）若数列{a_n}为等比数列a_n=2ⁿ（n∈N），求

n

i=0

（b_iC

i n

）；
（2）若数列{a_n}为等差数列a_n=2n（n∈N），求

n

i=1

（b_iC

i n

）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

n

i=0

(bi

C

i n

)=(21-1)

C

0 n

+(22-1)

C

1 n

+(23-1)

C

2 n

+…+(2n+1-1)

C

n n

，由此利用分组求和法能求出结果．
（2）由已知条件得

n

i=0

(bi

C

i n

)=1•2•

C

1 n

+2•3•

C

2 n

+3•4•

C

3 n

+…+n(n+1)

C

n n

，由此利用导数性质能求出结果．

解答： 解：（1）∵a_n=2ⁿ，b_n=

n

i=0

ai，
∴bn=20+21+22+…+2n=2n+1-1，
∴

n

i=0

(bi

C

i n

)=(21-1)

C

0 n

+(22-1)

C

1 n

+(23-1)

C

2 n

+…+(2n+1-1)

C

n n

=21•

C

0 n

-1•

C

0 n

+22•

C

1 n

-1•

C

1 n

+23•

C

2 n

-1•

C

2 n

+…+2n+1•

C

n n

-1•

C

n n

=2(

C

0 n

+21•

C

1 n

+22•

C

2 n

+…+2n•

C

n n

)-(

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

)
=2（1+2）ⁿ-2ⁿ=2•3ⁿ-2ⁿ． …（4分）
（2）∵a_n=2n，b_n=

n

i=0

ai，
∴b_n=0+2+4+…+2n=n（n+1），
∴

n

i=0

(bi

C

i n

)=1•2•

C

1 n

+2•3•

C

2 n

+3•4•

C

3 n

+…+n(n+1)

C

n n

，
(1+x)n=

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+

C

3 n

x3+…+

C

n n

xn，
两边同乘以x，则有x(1+x)n=

C

0 n

x+

C

1 n

x2+

C

2 n

x3+

C

3 n

x4+…+

C

n n

xn+1，
两边求导，左边=（1+x）ⁿ+nx（1+x）^n-1，
右边=

C

0 n

+2

C

1 n

x+3

C

2 n

x2+4

C

3 n

x3+…+(n+1)

C

n n

xn，
即(1+x)n+nx(1+x)n-1=

C

0 n

+2

C

1 n

x+3

C

2 n

x2+4

C

3 n

x3+…+(n+1)

C

n n

xn（*），
对（*）式两边再求导，
得2n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2=2•1•

C

1 n

+3•2•

C

2 n

x+4•3•

C

3 n

x2+…+(n+1)n

C

n n

xn-1
取x=1，则有(n2+3n)•2n-2=1•2•

C

1 n

+2•3•

C

2 n

+3•4•

C

3 n

+…+n(n+1)

C

n n

∴

n

i=1

(bi

C

i n

)=(n2+3n)•2n-2．…（10分）

点评：本题考查数列的前n项和的求法，综合性强，难度大，计算繁琐，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．