Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+mx²-3m²x+1，m∈R．若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：f（x）在区间（-2，3）上是减函数，等价于f′（x）≤0在（-2，3）上恒成立，即x²+2mx-3m²≤0恒成立，由图象可得端点处函数值的符号．

解答： 解：f′（x）=x²+2mx-3m²，
∵f（x）在区间（-2，3）上是减函数，
∴f′（x）≤0在（-2，3）上恒成立，即x²+2mx-3m²≤0恒成立，
∴

(-2)2-4m-3m2≤0 32+6m-3m2≤0

，即

m≥ 2 3 或m≤-2 m≥3或m≤-1

，
解得m≥3或m≤-2，
故答案为：（-∞，-2]∪[3，+∞）．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性，考查二次函数的性质，考查转化思想．