Question

已知a∈R，命题p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“?x∈R，x²+2ax+2-a=0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1）由于命题p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，令f（x）=x²-a，只要x∈[1，2]时，f（x）_min≥0即可；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a²-4（2-a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．

解答： 解：（1）∵命题p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，令f（x）=x²-a，
根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）_min≥0即可，
也就是1-a≥0，解得a≤1，
∴实数a的取值范围是（-∞，1]；    
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时，△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2或a≥1．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与命题q必然一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，

a≤1 -2＜a＜1

⇒-2＜a＜1，
当命题p为假，命题q为真时，

a＞1 a≤-2或a≥1

⇒a＞1，
综上：a＞1或-2＜a＜1．

点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．