Question

2．已知抛物线C：y²=2px的准线为x=-$\frac{1}{2}$，过点（3，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，过线段AB的中点M作y轴的垂线交抛物线C于点N，直线AN，BN分别与抛物线的准线交于P，Q两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求△NAB和△NPQ的面积之比$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线C：y²=2px的准线为x=-$\frac{1}{2}$，∴p=1，即可得抛物线C的方程
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x=my+3}\end{array}\right.$，消去y得y²-2my-6=0
 $\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$=$\frac{\frac{1}{2}NB•NA•sin∠ANB}{\frac{1}{2}NP•NQ•sin∠PNQ}=\frac{NB•NA}{NP•NQ}$=|$\frac{4{x}_{1}{x}_{2}-2{m}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{4}}{{（m}^{2}+1）^{2}}$=|$\frac{（{x}_{1}-\frac{{m}^{2}}{2}）（{x}_{2}-\frac{{m}^{2}}{2}）}{（\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{1}{2}）（\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{1}{2}）}$|=|$\frac{3（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）-45}{（{m}^{2}+1）^{2}}$|令$\frac{1}{{m}^{2}+1}=t，t∈（0，1]$，则$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$=|$\frac{3（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）-45}{（{m}^{2}+1）^{2}}$|=f（t）=|-45t²+6t+3|
即可求得△NAB和△NPQ的面积之比$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$的最大值

解答 解：（1）∵抛物线C：y²=2px的准线为x=-$\frac{1}{2}$，∴p=1，抛物线C的方程为：y²=2x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x=my+3}\end{array}\right.$，消去y得y²-2my-6=0
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-6，则N（$\frac{{m}^{2}}{2}，m$）
$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$=$\frac{\frac{1}{2}NB•NA•sin∠ANB}{\frac{1}{2}NP•NQ•sin∠PNQ}=\frac{NB•NA}{NP•NQ}$=|$\frac{4{x}_{1}{x}_{2}-2{m}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{4}}{{（m}^{2}+1）^{2}}$=|$\frac{（{x}_{1}-\frac{{m}^{2}}{2}）（{x}_{2}-\frac{{m}^{2}}{2}）}{（\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{1}{2}）（\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{1}{2}）}$|=|$\frac{3（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）-45}{（{m}^{2}+1）^{2}}$|令$\frac{1}{{m}^{2}+1}=t，t∈（0，1]$，则$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$=|$\frac{3（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）-45}{（{m}^{2}+1）^{2}}$|=f（t）=|-45t²+6t+3|
∵f（1）=36$＞f（\frac{1}{15}）$
∴当t=1时，△NAB和△NPQ的面积之比$\frac{{S}_{△NAB}}{{S}_{△NPQ}}$的最大值为36．

点评 本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查了方程思想、计算能力，属于中档题