Question

14．已知函数f（x）=ma^x+a^2x-1，（a＞0且a≠1，m∈R）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，m=1时，试判定函数y=f（x）的单调性；
（2）当m=2时，函数y=f（x）在区间x∈[-1，1]上的最大值是14，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）代入a，m的值，根据指数函数的性质求出f（x）的单调性即可；
（2）求出f（x）的解析式，通过讨论a的范围，求出f（x）的单调性，求出f（x）的最大值，解出即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$，m=1时，
f（x）=2^-x+2^-2x-1，
而y=2^-x递减，
则f（x）在R递减；
（2）m=2时，f（x）=2a^x+a^2x-1，
若a＞1，则f（x）在[-1，1]递增，
f（x）_max=f（1）=2a+a²-1=14，
解得：a=3；
若0＜a＜1，则f（x）在[-1，1]递减，
f（x）max=f（-1）=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$-1=14，
解得：a=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．