Question

4．已知数列{a_n}前n项和为S_n，等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且1+3S_n=a_n+1，a₅=256，b_n+b_n+1=${log}_{\sqrt{2}}$a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：b_nb_n+1≥T_n．

Answer 1

分析 （1）因为1+3S_n=a_n+1，所以当n＞1时，1+3S_n-1=a_n，相减可得：即a_n+1=4a_n，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知${a_n}={4^{n-1}}$，可得b_n+b_n+1=$lo{g}_{\sqrt{2}}{4}^{n-1}$=（n-1）$lo{g}_{\sqrt{2}}（\sqrt{2}）^{4}$=4n-4．设数列{b_n}的公差为d，可得b₁+b₂=2b₁+d=0，b₂+b₃=2b₁+3d=4，解得b₁，d，即可得出．

解答 解：（1）因为1+3S_n=a_n+1，所以当n＞1时，1+3S_n-1=a_n，
所以3（S_n-S_n-1）=a_n+1-a_n，即a_n+1=4a_n，
所以{a_n}从第二项开始是公比为4的等比数列，即${a_n}={a_2}{4^{n-2}}（{n＞1}）$，
因为a₅=256，所以$256={a_2}{4^{5-2}}$，解得a₂=4，
当n=1时，1+3S₁=a₂，解得${a_1}={S_1}=\frac{1}{3}（{{a_2}-1}）=1$，则a₂=4a₁，
所以{a_n}是首项为1公比为4的等比数列，其通项公式为${a_n}={4^{n-1}}$；
（2）由（1）知${a_n}={4^{n-1}}$，
所以b_n+b_n+1=${log}_{\sqrt{2}}$a_n=$lo{g}_{\sqrt{2}}{4}^{n-1}$=（n-1）$lo{g}_{\sqrt{2}}（\sqrt{2}）^{4}$=4n-4．
设数列{b_n}的公差为d，所以b₁+b₂=2b₁+d=0，b₂+b₃=2b₁+3d=4，
解得b₁=-1，d=2，所以b_n=-1+2（n-1）=2n-3，
所以${b_n}{b_{n+1}}=（{2n-3}）（{2n-1}）=4{n^2}-8n+3，{T_n}=\frac{1}{2}n（{-1+2n-3}）={n^2}-2n$，
所以${b_n}{b_{n+1}}-{T_n}=4{n^2}-8n+3-（{{n^2}-2n}）=3{（{n-1}）^2}≥0$．
所以b_nb_n+1≥T_n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．