Question

15．设a，b∈R，函数f（x）=lnx-ax，$g（x）=\frac{b}{x}$．
（Ⅰ）若f（x）=lnx-ax与$g（x）=\frac{b}{x}$有公共点P（1，m），且在P点处切线相同，求该切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）有极值但无零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＞0，b=1时，求F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列关于a，b的方程组，求解方程组可得a，b的值，进一步求得g′（1），g（1），代入直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导函数，可知a≤0时，$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$恒成立，函数f（x）在定义域（0，+∞）单调递增，此时无极值；当a＞0时，求出函数有极大值，由绝对值小于0求得实数a的取值范围；
（Ⅲ）由已知可得F（x）解析式，求导后可得F′（x）=$\frac{{-（{a{x^2}-x-1}）}}{x^2}$．设h（x）=ax²-x-1，依据a分类讨论求得函数在区间[1，2]的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=g'（1）\\ f（1）=g（1）\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-a=-b\\-a=b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
∴g′（1）=$\frac{1}{2}$，g（1）=$-\frac{1}{2}$，
在点$P（{1，-\frac{1}{2}}）$的切线方程为$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y-2=0；
（Ⅱ）当a≤0时，由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$恒成立，可知函数f（x）在定义域（0，+∞）单调递增，此时无极值；
当a＞0时，由$f'（x）=\frac{1}{x}-a=0$，得$x=\frac{1}{a}＞0$．
由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，得$x∈（{0，\frac{1}{a}}）$；$f'（x）=\frac{1}{x}-a＜0$，得$x∈（{\frac{1}{a}，+∞}）$．
于是，$x=\frac{1}{a}$为极大值点，且${f_{max}}（x）=f（{\frac{1}{a}}）$=-lna-1．
由于函数f（x）无零点，因此${f_{max}}（x）=f（{\frac{1}{a}}）$=-lna-1＜0，解得$a＞\frac{1}{e}$；
（Ⅲ）不妨设$F（x）=lnx-ax-\frac{1}{x}$，得$F'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{1}{x^2}$=$\frac{{-（{a{x^2}-x-1}）}}{x^2}$．
设h（x）=ax²-x-1，
∵a＞0，∴△=1+4a＞0，
设h（x）=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由${x_1}•{x_2}=-\frac{1}{a}＜0$，得x₁＜0，x₂＞0，且${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{2a}$．
∴$F'（x）=\frac{{-a（{x-{x_1}}）（{x-{x_2}}）}}{x^2}$．
由F'（x）=0，得x=x₂．
∴当F'（x）＞0时，x₂＞x＞0；当F'（x）＜0时，x＞x₂．
∴F（x）在（0，x₂]单调递增，在[x₂，+∞）上单调递减．
①当0＜x₂≤1，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2a}＜1\\ h（1）≥0\end{array}\right.$，即a≥2时，[1，2]⊆[x₂，+∞），F（x）在[1，2]递减，
∴F（x）_min=F（2）=$ln2-\frac{1}{2}-2a$；
②当x₂≥2，即h（2）≤0，即$0＜a≤\frac{3}{4}$时，[1，2]⊆（0，x₂]，F（x）在[1，2]递增，
∴F（x）_min=F（1）=-a-1；
③当1＜x₂＜2，即$\frac{3}{4}＜a＜2$时，F（x）在[1，x₂]递增，[x₂，2]递减，
∴F（2）-F（1）=$ln2-\frac{1}{2}-2a+a+1$=$ln2+\frac{1}{2}-a$．
（i）当$ln2+\frac{1}{2}≤a＜2$时，F（2）≤F（1），∴F（x）_min=F（2）=$ln2-\frac{1}{2}-2a$；
（ii）当$\frac{3}{4}＜a＜ln2+\frac{1}{2}$时，F（2）＞F（1），∴F（x）_min=F（1）=-a-1．
综合①、②、③得，F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，2]的最小值为：F（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}-a-1，（{0＜a＜ln2+\frac{1}{2}}）\\ ln2-\frac{1}{2}-2a，（{a≥ln2+\frac{1}{2}}）\end{array}\right.$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，着重考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求函数在闭区间上的最值，其中（Ⅲ）涉及二次函数的分类讨论问题，关键是做到分类不重不漏，属难题．