Question

20．将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为i（i=1，2，3，4）的纸箱放入的   小球编号为a_i，定义吻合度误差为X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|
（1）写出吻合度误差X的可能值集合；
（2）假设a₁，a₂，a₃，a₄等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差X的分布列；
（3）某人连续进行了四轮“放球”，若都满足3＜X＜7，试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮“放球”相互独立）．

Answer 1

分析 （1）根据题意知|1-a₁|+|1-a₃|与|1-a₂|+|1-a₄|的奇偶性相同，
误差X只能是偶数，由此写出X的可能取值；
（2）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列；
（3）利用互斥事件的概率公式计算对应的概率值．

解答 解：（1）由于在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，
所以a₂、a₄中的奇数的个数与a₁、a₃中偶数的个数相同；
因此，|1-a₁|+|1-a₃|与|1-a₂|+|1-a₄|的奇偶性相同，
从而吻合度误差X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|只能是偶数，
又因为X的值非负且值不大于8，
因此，吻合度误差X的可能值集合为{0，2，4，6，8}；
（2）用（a₁、a₂、a₃、a₄）表示编号为1、2、3、4的四个纸箱中
放入的小球编号分别为a₁、a₂、a₃、a₄，则所有可能的结果如下：
（1，2，3，4），（1，2，4，3），（1，3，2，4），（1，3，4，2），（1，4，3，2），（1，4，2，3），
（2，1，3，4），（2，1，4，3），（2，3，1，4），（2，3，4，1），（2，4，3，1），（2，4，1，3），
（3，1，2，4），（3，1，4，2），（3，2，1，4），（3，2，4，1），（3，4，2，1），（3，4，1，2），
（4，1，2，3），（4，1，3，2），（4，2，1，3），（4，2，3，1），（4，3，1，2），（4，3，2，1），
计算P（X=0）=$\frac{1}{24}$，P（X=2）=$\frac{3}{24}$，P（X=4）=$\frac{7}{24}$，P（X=6）=$\frac{9}{24}$，P（X=8）=$\frac{4}{24}$；
于是，吻合度误差X的分布列如下：

X	0	2	4	6	8
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{3}{24}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{9}{24}$	$\frac{4}{24}$

（3）P（3＜X＜7）=P（X=4）+P（X=6）
=$\frac{7}{24}$+$\frac{9}{24}$=$\frac{2}{3}$；
由上述结果和独立性假设，可得出现这种现象的概率为
P=${（\frac{2}{3}）}^{4}$=$\frac{16}{81}$．

点评 本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列问题，是中档题．