Question

10．已知圆M：（x-2a）²+y²=4a²与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点D为圆M与x轴正半轴的交点，点E为双曲线C的左顶点，若四边形EADB为菱形，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求得圆心及半径，由题意四边形EADB的对角线AB，DE相互垂直平分，即可求得x_A，代入圆的方程求得y_A，代入双曲线的方程，即可求得b²=3a²，根据双曲线的离心率关系，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：圆M：（x-2a）²+y²=4a²，圆心为（2a，0），半径为2a，则D（4a，0），
由双曲线的左顶点E的坐标为（-a，0），
由四边形EADB为菱形，则对角线AB，DE相互垂直平分，
则x_A=$\frac{-a+4a}{2}$=$\frac{3a}{2}$，将x_A=$\frac{3a}{2}$代入圆M，解得：y_A=$\frac{\sqrt{15}a}{2}$，
将A（$\frac{3a}{2}$，$\frac{\sqrt{15}a}{2}$）代入双曲线方程，即$\frac{9}{4}$-$\frac{15{a}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
整理得：b²=3a²，
由双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
∴双曲线的离心率e=2，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查转化思想，属于中档题．