Question

19．如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X．
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）讨论最后一次划拳之前两人的位置，利用相互独立事件概率公式计算各种情况的概率；
（2）利用相互独立事件概率公式计算各种情况的概率，列出分布列，再计算均值．

解答 解：（1）设事件“第i（i∈N^*）次划拳小华赢”为A_i；事件“第i次划拳小华平”为B_i；事件“第i次划拳小华输”为C_i，
则P（A_i）=P（B_i）=P（C_i）=$\frac{1}{3}$．
因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：
第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；
其概率为P₁=${A}_{2}^{2}$P（B₁）P（C₂）P（B₃）+P（C₁）P（A₂）P（C₃）P（B₄）=$\frac{7}{81}$，
第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，
其概率为P₂=P（B₁）P（B₂）P（C₃）+A${\;}_{3}^{3}$P（A₁）P（B₂）P（C₃）P（C₄）+A${\;}_{2}^{2}$P（A₁）P（C₂）P（A₃）P（C₄）P（C₅）=$\frac{29}{243}$．
所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为P=$\frac{7}{81}+\frac{29}{243}$=$\frac{50}{243}$．
（2）依题可知X的可能取值为2、3、4、5，
$P（{X=5}）=2P（{A_1}）P（{C_2}）P（{A_3}）P（{C_4}）=2×{（{\frac{1}{3}}）^4}=\frac{2}{81}$，
$P（{X=2}）=2P（{A_1}）P（{A_2}）=2×{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{2}{9}$，
P（X=3）=2P（A₁）P（B₂）P（A₃）+2P（B₁）P（A₂）P（A₃）+P（B₁）P（B₂）P（B₃）+
2P（A₁）P（B₂）P（B₃）+2P（B₁）P（A₂）P（B₃）+2P（B₁）P（B₂）P（A₃）+2P（C₁）P（A₂）P（A₃）=$\frac{13}{27}$，
$P（{X=4}）=1-P（{X=5}）-P（{X=2}）-P（{X=3}）=\frac{22}{81}$，
所以X的分布列为：

X	2	3	4	5
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{13}{27}$	$\frac{22}{81}$	$\frac{2}{81}$

所以X的数学期望为：$E（X）=2×\frac{2}{9}+3×\frac{13}{27}+4×\frac{22}{81}+5×\frac{2}{81}=\frac{251}{81}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列，讨论情况较多，情况分类要不重不漏，属于中档题．