Question

11．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（0＜a＜b）的半焦距为c，直线L过（b，0），（0，a）两点．已知原点到直线L的距离为$\frac{2c}{5}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$
• B． $\frac{5}{4}$或5
• C． 5
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出直线L的方程，利用点到直线的距离公式列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．

解答 解：直线L的方程为：$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，原点到直线L的距离为$\frac{2c}{5}$，
可得：$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$=$\frac{2c}{5}$，
即：5ab=2c²，
25a²（c²-a²）=4c⁴，
可得25（e²-1）=4e⁴，e＞1，
解得e=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．