Question

18．已知$sinα=\frac{4}{5}$，$sinβ=-\frac{5}{13}$，$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，$β∈（{π，\frac{3}{2}π}）$；求$sin（{\frac{π}{4}-α}）$，tan（α-β）的值．

Answer 1

分析 根据题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，两角和差的正切、正弦公式，求得要求式子的值

解答 解：∵$sinα=\frac{4}{5}$，$sinβ=-\frac{5}{13}$，$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，$β∈（{π，\frac{3}{2}π}）$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，cosβ=-$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=-$\frac{12}{13}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{4}{3}$，tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{5}{12}$，
∴$sin（{\frac{π}{4}-α}）$=sin$\frac{π}{4}$cosα-cos$\frac{π}{4}$sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}•$（-$\frac{3}{5}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{4}{5}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanα•tanβ}$=$\frac{-\frac{4}{3}-\frac{5}{12}}{1+（-\frac{4}{3}）•\frac{5}{12}}$=-$\frac{63}{16}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，两角差的正切、正弦公式的应用，属于基础题．