Question

13．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为$（{\sqrt{3}，0}）$，
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求双曲线C的离心率；
（3）求双曲线C的渐近线方程．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的标准方程，由c=2，a=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=1，即可求得双曲线的标准方程；
（2）由（1）即可求得双曲线的离心率；
（3）根据渐近线方程，即可求得双曲线C的渐近线方程．

解答 解：（1）由题意得设双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，∵$c=2，a=\sqrt{3}$，
∴b²=c²-a²=4-3=1，
∴双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$；
（2）由（1）得$c=2，a=\sqrt{3}$，
∴双曲线的离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（3）由（1）得双曲线的渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，属于基础题．