Question

11．（1）已知f（x）=$\frac{sin（2π-x）•cos（\frac{3}{2}π+x）}{cos（3π-x）•sin（\frac{11}{2}π-x）}$，求f（-$\frac{21π}{4}$）的值．
（2）已知-π＜x＜0，sin（π+x）-cosx=-$\frac{1}{5}$．
①求sinx-cosx的值；
②求$\frac{sin2x+2sin2x}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简f（x），求f（-$\frac{21π}{4}$）的值即可；
（2）①由题意求出sinx+cosx的值，两边平方求出2sinxcosx的值，再利用平方关系求sinx-cosx的值；
②化简$\frac{sin2x+2sin2x}{1-tanx}$，利用①中结论求出它的值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{sin（2π-x）•cos（\frac{3}{2}π+x）}{cos（3π-x）•sin（\frac{11}{2}π-x）}$
=$\frac{-sinx•sinx}{-cosx•（-cosx）}$
=-tan²x，
f（-$\frac{21π}{4}$）=-tan²（-$\frac{21π}{4}$）=-tan²$\frac{3}{4}$π=-1；
（2）①由sin（π+x）-cosx=-$\frac{1}{5}$，
得sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，
∴sin²x+2sinxcosx+cos²x=$\frac{1}{25}$，
整理得2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$；
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{49}{25}$，
由-π＜x＜0，知sinx＜0，
又sinx+cosx＞0，
∴cosx＞0，
∴sinx-cosx＜0，
∴sinx-cosx=-$\frac{7}{5}$；
②$\frac{sin2x+2sin2x}{1-tanx}$=$\frac{2sinx（cosx+sinx）}{1-\frac{sinx}{cosx}}$
=$\frac{2sinxcosx（cosx+sinx）}{cosx-sinx}$
=$\frac{-\frac{24}{25}×\frac{1}{5}}{-（-\frac{7}{5}）}$
=-$\frac{24}{175}$．

点评 本题考查了三角函数求值的应用问题，也考查了转化思想与计算能力，是中档题．