Question

2．在△ABC中，已知（2b-c）cos A=acos C．
（1）求角A的大小；
（2）若S_△ABC=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{13}$，求b+c的值；
（3）若△ABC的外接圆半径R=1，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由（2b-c）cos A=acos C，得2sin Bcos A=sin B，即A=$\frac{π}{3}$；
（2）由S_△ABC=$\sqrt{3}$，得bc=4，由余弦定理可知a²=b²+c²-bc，即b+c=5；
（3）由A=$\frac{π}{3}$，知B+C=$\frac{2π}{3}$，且0＜B＜$\frac{2π}{3}$
即可得b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（A+B）
=$3sinB+\sqrt{3}cosB$=$2\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，知$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，即可求b+c的取值范围．

解答 解：（1）因为（2b-c）cos A=acos C，
所以（2sin B-sin C）cos A=sin Acos C，
即2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A，
即2sin Bcos A=sin B，
因为sin B≠0，所以cos A=$\frac{1}{2}$，又0＜A＜π，于是A=$\frac{π}{3}$．…（4分）
（2）因为S_△ABC=$\sqrt{3}$，所以$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，所以bc=4，
由余弦定理可知a²=b²+c²-bc，
所以（b+c）²=a²+3bc=13+12=25，即b+c=5．…（7分）
（3）由A=$\frac{π}{3}$，知B+C=$\frac{2π}{3}$，且0＜B＜$\frac{2π}{3}$
又a=2Rsin A=2sin A=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，b=2Rsin B=2sin B，c=2Rsin C，
故b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（A+B）
=$3sinB+\sqrt{3}cosB$=$2\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$…（10分）
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，知$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以$\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，$\sqrt{3}＜2\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）≤2\sqrt{3}$，
即b+c的取值范围是$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$…（12分）

点评 本题考查了正、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．