Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=xlnx-x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，y_M），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，y_N）．则$\frac{y_N}{y_M}$的范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 设出P的坐标，求导函数，可得曲线在点P处的切线l的方程，过点P作l的垂线的方程，令x=0，可得y_M=-a，y_N=alna-a+$\frac{a}{lna}$，进而可求$\frac{y_N}{y_M}$=-lna+1-$\frac{1}{lna}$，利用基本不等式，即可求出$\frac{y_N}{y_M}$的范围．

解答 解：设P（a，alna-a），
∵f（x）=xlnx-x，
∴f′（x）=lnx，
∴曲线在点P处的切线l的方程为y-alna+a=lna（x-a），即y=-a+xlna．
令x=0，可得y_M=-a，
过点P作l的垂线的方程为y-alna+a=-$\frac{1}{lna}$（x-a），
令x=0，可得y_N=alna-a+$\frac{a}{lna}$，
∴$\frac{y_N}{y_M}$=-lna+1-$\frac{1}{lna}$，
∵lna+$\frac{1}{lna}$≥2或lna+$\frac{1}{lna}$≤-2，
∴-（lna+$\frac{1}{lna}$）≤-2或-（lna+$\frac{1}{lna}$）≥2，
∴$\frac{y_N}{y_M}$=-lna+1-$\frac{1}{lna}$的范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，属于中档题．